国际数学日｜圆周率不只是个无理数，更是一部“有理”的数学史
来源： 科普中国 发布时间：2024-03-14
2019年11月26日，联合国教科文组织在第四十届大会批准宣布，3月14日为“国际数学日”。国际数学日之所以定在3月14日，是因为“3.14”是圆周率数值最接近的数字，因此很多人也把这篇天称为“国际圆周率日”。今天，我们也来凑个热闹，来聊一聊全世界圆周率背后的数学史。
01 古埃及：化圆为方的金字塔
在长达数千年的时间里，人类一直在不断追寻圆周率真正的数值。
全世界的古文明，最晚从青铜时代就开始计算圆周率。成书于约公元前1650年的《莱因德纸草书》，是一部著名的古埃及数学书，书中第50题问到：「试求一个直径等于9的圆形，土地面积为多少？」而解答为：减掉直径的1/9 并将它平方，换句话说，圆形面积等于64。用这个答案反推出当时认为的圆周率值约3.16。
然而奇怪的是，比这本书早大概900年建成的古埃及胡夫金字塔，却已经在工程设计中使用了更精确的圆周率数字数值：胡夫金字塔是现存最巨大的古建筑，约建于公元前2560 年，原高度为146.59 米，底座为边长230.37米的正方形。这样的建筑尺寸是否基于什么比例规则？要解开这个谜底必须回到古埃及的一种测量单位——肘尺（cubit，又称腕尺）。肘尺的长度以一位成年人手肘到中指顶端的距离为基准，根据现今出土的埃及肘尺工具，它的长度约为52.35厘米。
胡夫金字塔的高度和底座边长这两个数字看似杂乱，但如果以肘尺表示则刚好是280 和440 肘尺这两个漂亮的整数单位。除整数单位之外，若将边长除以2倍塔高，正好就等于3.1416。因此，以金字塔高度为半径的圆周长，恰好等于正方形底座的周长，这可以说是周长版的「化圆为方」，实在精妙！
但有的学者怀疑，这个π/2的比例只是巧合，因为如前所述，古埃及人认知的圆周率是3.16。但也有学者认为，《莱因德纸草书》只是诸多古埃及数学文献之一，不排除埃及已有其他更准确的圆周率近似值。而且埃及人建造了数十座金字塔，如果我们退一步看一下其他金字塔，会发现它们的尺寸不同，但整体设计大致相似，底高比通常都接近圆周率，只不过没有胡夫金字塔那么精确。
大概于与埃及同时期的古巴伦人，也有了圆周率的认知。一块产于公元前1900年的巴比伦石匾，清楚地记载了圆周率 = 25/8 = 3.125。而公元前800至600年成文的古印度宗教巨著《百道梵书》记载了圆周率等于分数339/108， 约为3.139。然而这些显然都是粗略的生活经验值，并非严格推算的结果。
02 古罗马：最后一刻，阿基米德只想着“圆”
公元前250年左右，古希腊数学家阿基米德，提出了第一种逼近圆周率的算法：阿基米德从单位圆出发，先用内接正六边形求出圆周率的下界为3，再用外接正六边形并借助勾股定理求出圆周率的上界小于4。接着他不断内接边数更多的正多边形，一直到内接正96边形和外接正96边形为止。最后，他求出圆周率的下界和上界分别为223/71和22/7，并取它们的平均值3.141851为圆周率的近似值。
阿基米德将毕生都奉献给了圆周率，甚至连死前都在计算。传说公元前212年，罗马大军攻入希腊时，阿基米德正跪在地上聚精会神地算圆周率。突然一名士兵冲过来，奉罗马将军之命要将他带走为罗马服务。结果沉浸在数学中的阿基米德，只是驱赶士兵说：“不要踩坏我画的圆”。这个罗马士兵大怒，不顾将军不准伤害学者的命令，杀向死了阿基米德。阿基米德用鲜血染红了圆周率的历史，用生命捍卫了圆周率的尊严。后人为了纪念他对圆周率的杰出贡献，又称圆周率为“阿基米德常数”。
不过罗马也确实继承了古希腊的数学，公元150年前后，罗马的托勒密在阿基米德的基础上多算了一些，算出377 / 120约等于3.14167的近似值。罗马人偏爱圆形，今天意大利的著名古建罗马斗兽场，就是一个巨大的圆形。
03 古代中国：保持千年的最精确纪录
接着又过了100多年，中国人疾驰进入逼近圆周率的征途。其实，早在公元一世纪下半叶，数学专著《九章算术》就提出了圆周率的粗略值为3。到了公元265年，南朝数学家刘徽又发明了计算圆周率的科学方法“割圆术”，得出圆周率约等于3927/1250=3.1416，精确到了小数点后4位。
刘徽的“割圆术”和阿基米德的迭代算法有异曲同工之妙，他用圆内接正多边形的周长来逼近圆周长，一直计算到了圆内接96边形的情况。公元480年，祖冲之沿用刘徽的算法，计算了12288边形的面积，又推进到24576边形的面积，得出了355/113≈3.1415929这个密律，达到7位小数精度，这是一个绝大多数现在工业都用不到的精度——祖冲之保留保持圆周率最精确的世界记录长达1000年！
古代中国人对计算圆周率如此熟悉和擅长，自然也少不了在建筑中应用。各种圆形的古代建筑多如牛毛，从北京天坛到福建土楼不计其数，无不彰显着古人对圆周率的精确掌控。
天坛祈年殿（来源：新华社）
云南红河州还有一座绰号“圆周率塔”的清道光年间所建的建水文笔塔。建水文笔塔通高31.4米。塔基四周边长也是31.4米，恰好与塔的高度相同。而这个数字又如此接近圆周率，让人不得不想到这是否是古人有意为之。不过有学者指出，道光年间还不使用现在的米制，而明朝一尺约合今31.1厘米，清朝一尺约合今32厘米，建水文笔塔的始建高度应当是100尺，即10丈，这或许才是塔高的本意。
不过，我国古建筑学者王南指出，中国现存的众多古塔中，有很多塔的高宽比都接近圆周率。这不是偶然巧合，而是蕴藏了古人“天圆地方”宇宙观的精心设计。“天圆地方”的概念很早就在我国出现，是指测天量地的方法，“天圆”指测天须以“圆”的度数，即圆周率来计算，古谓“三天两地”的“三”指的即是圆周率近似值；“地方”指量地须以“方”来计算，“两地”即“方”，指边长乘以边长的计算法。
04 不断刷新纪录！圆周率计算的“国际赛道”
说回到圆周率的计算，中国“选手”祖冲之保持记纪录千年，直到15世纪才有印度数学家马大哈瓦打破：他将圆周率精确到了小数点后10位。紧接着波斯天文学家吉亚斯丁又继承了他的算法，把精度推到了16位，达到了现代航天所需的最高精度。
印度数字数学通过阿拉伯人传播到了欧洲，明代传教士也把中国数学翻译介绍到了欧洲，欧洲数学从16世纪开始迅猛发展，掀起了圆周率不断突破的高潮。到1706年，英国数学家威廉·琼斯最先使用希腊字母π表示圆周率，紧接着瑞士大数学家欧拉也开始用π表示圆周率。从此，π便成了圆周率的代名词。
作者：刘阜 科普创作者
审核：王洪鹏 中国科学技术馆副研究员
出品：科普中国
监制：中国科学技术出版社有限公司、中科数创（北京）数字传媒有限公司
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